O ponto de vista algébrico

Um dos problemas algébricos mais fundamentais é o da resolução de uma equação da forma:

na qual , e são números reais. O estudante talvez não perceba porque este problema é tão interessante, principalmente se ele for um bom estudante, já que saberá resolver com tanta facilidade a questão que esta lhe parecerá quase tola. Contudo, este bom estudante beneficia-se, por um lado, de toda uma tradição que lhe foi transmitida e que torna a formulação do problema e o significado dos termos muito claros para ele, tendo em mente o que se tem de fazer para resolvê-lo. Por outro lado, a tradição lhe foi transmitida, provavelmente, sem a devida instigação ao pensamento crítico, tornando estes termos claros demais. Desta forma, a real dificuldade foi posta de lado. Nosso bom estudante aprendeu o que ele pode fazer para isolar o nesta questão: ele aplica "regras da Álgebra".

Estas regras são, sem dúvida, inteligentes. Em primeiro lugar todos admitem que sabem o que são os símbolos 1, 2, 3, 4, …, n, … e o que significa modificar estes símbolos assim: -1, -2, -3, -4, …, -n, … Todos sabem também que entre estas duas seqüências de símbolos, podemos colocar o símbolo 0. Por fim, todos admitem que se escrevam símbolos m/n, onde m e n estão em quaisquer das seqüências acima. O símbolo m pode ser o 0, o símbolo n não pode ser o 0. Em um estágio mais avançado, o estudante aprende que pode usar símbolos como , embora não seja conseqüência de equações como (1). No contexto destas equações, pode aparecer como a ou b. Estes símbolos podem ser combinados por duas operações, a adição e a multiplicação. As inteligentes regras que estas operações obedecem permitem ao estudante apresentar uma solução formal para o problema proposto, sem jamais indagar se os símbolos significam alguma coisa. Diga-se de passagem que os sistemas de álgebra simbólica, como o Maple e o Mathematica, para citar os mais famosos, abordam as equações da mesma forma que o nosso bom estudante e talvez seja por isto que se diga que têm inteligência artificial, já que os comparamos ao bom estudante, que supomos possuir inteligência natural.

Questões muito difíceis aparecem quando nos preocupamos com a existência e interconexão de entes representados por estes símbolos, que seriam os números reais. Raramente se diz ao bom estudante, de forma clara, que há outras hipóteses orientadas no sentido de dar conteúdo aos símbolos. Deste modo, provavelmente ele desconhece que as regras da Álgebra e propriedades dos números naturais pares e ímpares implicam que o número simbolizado por não existe, a menos que se acrescente a hipótese de que todo conjunto de números reais cotado superiormente possui uma menor cota superior (chamada "supremo"). De uma maneira geral, os números irracionais não fazem sentido, a menos que o conjunto sobre o qual usamos as regras da Álgebra obedeça, além das propriedades de ordenamento típicas dos números racionais, esta propriedade do supremo. Assim, nem tudo é Álgebra, mas não devemos esquecer o fato de que nosso bom estudante consegue apresentar uma solução formal do problema (como também os sistemas de álgebra simbólica) e que esta solução formal é de grande importância para chegarmos a uma compreensão completa e criteriosa. Na verdade, onde não tenhamos razão para suspeitar de nenhuma sutileza ligada aos aspectos mais específicos dos números reais, a solução formal será a única que precisaremos considerar para progredir substancialmente e aplicar nossos resultados. Eis, assim, uma das grandezas da Álgebra.

Tendo sido agora informados que a Álgebra dos Números Reais, que aprendemos na escola como bons estudantes, não nos diz tudo acerca dos números reais, não os determina completamente, podemos imaginar que vários tipos de entes que não são os números reais (ao quais tanto nos afeiçoamos na escola) talvez sejam manipulados da mesma forma. Considere o conjunto , com duas operações e . As tabelas abaixo nos dizem como devemos transformar os símbolos 0 e 1 usando estas operações:

A operação + obedece às seguintes propriedades:

1. (A) para todo e pertencentes a ;
2. (A) para todo , e pertencentes a ;
3. (A) existe 0 pertencente a tal que para todo pertencente a ;
4. (A) para cada elemento em existe um elemento em tal que .

A operação X obedece às seguintes propriedades:

1. (M) para todo e pertencentes a ;
2. (M) para todo , e pertencentes a ;
3. (M) existe 1 pertencente a tal que para todo pertencente a ;
4. (M) para cada elemento em existe um elemento em tal que .

Quando aparecem combinadas, as operações + e X obedecem às propriedades:

1. (D) para todo , e pertencentes a ;

É claro que nosso bom estudante percebeu que estas são as mesmas propriedades que usamos para os números reais. Desta forma podemos resolver a equação (1) em da mesma forma que resolvemos em . Porém, sendo tão pequeno, podemos ser mais diretos na resolução, uma vez que só há quatro equações possíveis.

Tanto 0 quanto 1 satisfazem esta equação.

Nem 0 nem 1 solucionam a equação.

A solução é 0;

A solução é 1.

Na verdade, estamos diante da prova de um pequeno teorema.

Seja a equação , onde , e pertencem a . Existe pelo menos uma equação que tem solução única, pelo menos uma equação que não tem solução e pelo menos uma que tem mais de uma solução.

Este teorema, que chega às raias da auto-evidência quando tratamos com o conjunto , é menos imediato para provar quando considermos e exige um argumento bem mais elaborado se nossos "números" são mais complexos que os reais.

O bom estudante, agora despertando de um descanso que dava à sua inteligência natural, mais capaz do que a inteligência artificial do Maple e do Mathematica, pode questionar em que circunstâncias um teorema deste tipo poderia ser demonstrado usando somente as regras da Àlgebra, deixando de lado os detalhes sobre a natureza dos elementos do conjunto . Se ele começou a fazer perguntas similares a esta ou, pelo menos, se pode compreender que tais perguntas são cabíveis, acabou de abrir sua mente para o ponto de vista álgébrico. Dentro deste ponto de vista, nos concentramos em conceitos e métodos apropriados para derivar e lidar com conseqüências gerais, relacionadas somente à forma como se opera sobre elementos de um conjunto. Este ponto de vista é importante porque, com o desenvolvimento da Matemática, acumularam-se muitos exemplos de questões difíceis de serem formuladas e postas precisamente, quando se trabalha sem isolar os aspectos algébricos que são convenientes para sua discussão. Estas questões, embora formuladas nesse nível geral, abstrato, idealizado, exigem considerável dose de esforço intelectual e inventividade para serem respondidas.

A Álgebra aplicada à Geometria

Já houve uma época na qual o ponto de vista algébrico, ainda em formação, foi duramente criticado por ensejar uma substituição do pensamento matemático por uma mera manipulação de símbolos. Realmente, o algebrista bem treinado da época trabalhava com problemas rotineiros e mesmo não tão rotineiros de forma extremamente eficiente, se comparado, por exemplo, com o geômetra. A Geometria tinha então por objeto as formas e figuras no plano e no espaço, sendo, amplamente, o ramo mais desenvolvido da Matemática, aquele que mais claramente se aproximava de um ideal de rigor e consistência interna. Tratando com as figuras, o geômetra tendia a se derramar em horas de meditação, em busca das idéias e relações adequadas que lhe permitissem demonstrar os teoremas. Já o algebrista lidava com problemas númericos representados de forma mais ou menos geral baseando-se em certas classes de equações ou sistemas de equações que sabia resolver. Mecanicamente, o processo de resolução era algo assim: pensado que isto é igual àquilo (uma equação), que é igual àquilo (equação equivalente), que è igual àquilo (nova equação equivalente), o algebrista chegava a determinar quantidades inicialmente incógnitas.

Quaisquer elementos de rigor que a álgebra tivesse em seus primórdios eram derivados da Geometria. As quantidades eram associadas a entes geométricos: por exemplo, freqüentemente as magnitudes eram representadas por comprimentos de segmentos, sendo isto uma prática muito antiga, que remonta aos gregos. A álgebra, através dos números-comprimentos, encontrava seu nível explicativo principalmente na geometria e nas "noções comuns" tais como estabelecidas nos Elementos de Euclides, havendo pouca percepção da que teoremas puramente algébricos seriam possíveis, ou melhor dizendo, da possibilidade de formular os teoremas de conteúdo algébrico dentro de uma linguagem algébrica, envolvendo apenas quantidades e operações entre quantidades, sem apelo essencial à uma analogia geométrica. Eis porque a Álgebra, naquela altura, parecia rasa e seus métodos, quando a analogia com a Geometria não era suficientemente clarificada, pareciam arbitrários. Desta forma, se o praticante da Álgebra chegava rápido demais às conclusões, tudo se assemelhava muito mais a um conjunto de truques, de "macetes", do que de verdadeiras técnicas matemáticas, compreendidas e justificadas.

A verdade, porém, é que a Álgebra está mais inclinada ao rigor do que a própria Geometria, porque os seres humanos são propensos a incluírem, em suas considerações geométricas, relações sugeridas pela sua cognição, especialmente as intuições sobre formas espaciais e sugeridas pelo processamento visual. Já a Álgebra submete-se a uma análise mais fria, sendo idealmente fundada nas relações lógicas entre proposições, afirmativas, envolvendo certos objetos como os números e as operações entre os mesmos. Passando-se o tempo, a Álgebra foi aperfeiçoada o bastante para que suas técnicas apresentassem uma forma mais rigorosa e coesa, dando aos matemáticos mais segurança acerca de sua aplicabilidade e de sua aplicação efetiva. Por reduzir o raciocínio a certas operações bastante padronizadas e passíveis de análise por regras de lógica formal e, sobretudo, por encadear estas operações de maneira muito regular na determinação de soluções de problemas específicos, os métodos algébricos ganharam espaço e preferência, introduzindo na Matemática o uso disseminado dos algoritmos. Para bem justificar estes algoritmos, aprofundou-se ainda mais o elemento formal, assentando-se em técnicas de exposição que, conquanto fossem inspiradas no padrão axiomático fundado pelos Elementos de Euclides, tinham conteúdo essencialmente algébrico, que retinha, comparativamente, um apoio muito menor da Geometria.

Eventualmente, em certo momento deste desenvolvimento, com René Descartes (1596-1650), vemos a Álgebra inverter sua tradicional situação: na consideração de um problema geométrico, buscava-se a analogia algébrica, de forma a usar os métodos da Álgebra na Geometria. Aparecia então a Geometria Analítica. Coloca-se em Descartes o ponto inicial de uma inovação metodológica que revolucionou a Geometria: associar lugares geométricos com equações e estudar questões relativas a estes lugares geométricos usando algoritmos algébricos aplicados a estas equações. Para concretizar isto Descartes introduziu um novo conceito, consistindo essencialmente no que hoje chamamos de produto cartesiano , ou em notação mais suscinta. Este produto cartesiano é um conjunto formado pelos pares ordenados com e pertencentes a . Descartes argumentava, não na linguagem usada aqui, que os elementos deste conjunto são análogos aos pontos do plano, que a cada ponto do plano pode-se fazer corresponder um par e, reciprocamente, a cada par ordenado pode-se fazer corresponder um ponto do plano. Assim, cada lugar geométrico plano, sendo um conjunto de pontos no plano, deve corresponder a um conjunto de pares . Da mesma forma, um conjunto de pares , definido por exemplo por uma equação ou uma desigualdade, deve estar associado a um lugar geométric plano. Desde então, foi se tornando habitual fazer referência a certos lugares geométricos por suas equações. Por exemplo, de lá para cá, é comum definir uma reta por sua equação:

Neste ponto, o leitor deve comparar esta equação com a equação (1) (« passe o mouse sobre este número que você verá a equação).

Fixando na equação (6) temos exatamente a equação (1) (com associado a ). Talvez possamos entender alguma coisa essencial desta equação se deixarmos de lado as complicações dos números reais. Que tal considerarmos o conjunto como fizemos antes? Nesse caso teremos apenas oito equações para estudar.

As soluções são , , e .

Não há nenhuma solução.

As soluções são e .

As soluções são e .

As soluções são e .

As soluções são e .

As soluções são e .

As soluções são e .

Parece que a conclusão de nosso pequeno teorema não vale nessa nova situação. Temos o caso de mais de uma solução, o caso de nenhuma solução, mas não temos o caso de solução única. O bom estudante, evidentemente, sabe porque. Temos uma equação e duas incógnitas. E se nós considerarmos conjuntos de duas equações? Existem apenas 28 sistemas com equações distintas. Mesmo assim, dá um trabalhinho para escrevê-los todos nesta página. Vamos substituir este trabalho manual por um pouco de imaginação. Em primeiro lugar, combinemos qualquer equação das listadas acima com a equação , colocando esta equação como a segunda no sistema. Fazendo isso a solução do sistema é a solução da primeira equação, porque qualquer par ordenado satisfaz . Logo, ainda teremos os casos de mais de uma e de nenhuma solução. Agora, tomemos como exemplo o sistema formado por e . Das soluções de cada uma destas equações, somente o par ordenado satisfaz ambas. Nesse caso ele é uma solução única do sistema. Existe então pelo menos um sistema com solução única. O pequeno teorema não vale para uma única equação, mas vale para um sistema de duas equações. Um problema relacionado a este, muito mais interessante, seria o de especificar exatamente quais sistemas de duas equações não têm solução, quais têm solução única, e quais têm mais de uma solução. Podemos resolvê-lo por simples inspeção dos 28 sistemas com equações distintas. Todavia, este método da inspeção não serviria caso estivéssemos lidando com os números reais.

Deve ser claro ao bom estudante que este problema da classificação dos sistemas de duas equações e duas incógnitas é muito importante se estamos aplicando a Álgebra à Geometria Plana. Por exemplo, em Geometria poderíamos estar interessados em determinar o ponto de encontro de duas retas. Ao desenhar as retas podemos facilmente usar nossa intuição para saber se o problema tem ou não solução. Contudo, havendo a necessidade de trabalhar com as equações, é preciso formular este critário algebricamente. O estudante também pode imaginar que sistemas de três equações e três incógnitas tenham uma importância similar na Geometria Espacial, tornando mais interessante ainda a questão da classificação por meios algébricos, tendo em vista a maior complexidade destes sistemas comparados aos que resultam da Geometria Plana. Em vista disso, não é difícil nos convencermos de que a idéia de usar a Álgebra em problemas geométricos depende crucialmente de desenvolvermos técnicas e algoritmos para resolver problemas algébricos envolvendo sistemas de equações e de inequações. É por este motivo que o surgimento da Geometria Analítica impulsionou não somente a Geometria, mas alavancou o desenvolvimento da Álgebra em geral e, especialmente, da Álgebra Linear. Por este papel, o surgimento da Geometria Analítica pode ser considerado um dos mais importantes eventos desencadeadores da formulação da Álgebra Linear.

Pierre de Fermat (1601-1665)
Gaspard Monge (1746-1818)

Números complexos

Caspar Wessel (1745-1818)
Jean-Robert Argand (1768-1822)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
William Rowan Hamilton (1805-1865)
Arthur Cayley (1821-1895)

Determinantes

Gottfried Wilhelm von Leibnitz (1646-1716)
Colin Maclaurin (1698-1746)
Gabriel Cramer (1704-1752)
Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796)
Pierre-Simon de Laplace (1749-1827)
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)
Karl Weierstrass (1815-1897)
Leopold Kronecker (1823-1891)

Equações lineares

Leonhard Paul Euler (1707-1783)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Mais de três dimensões

Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851)
Ferdinand Gotthold Max Eisenstein (1823-1852)
Benjamim Peirce (1809-1880)
James Joseph Sylvester (1814-1897)
Arthur Cayley (1821-1895)
Charles Hermite (1822-1901)
Richard Dedekind (1831-1916)
Charles Sanders Peirce (1839-1914)
Heinrich Martin Weber (1842-1913)
Camille Jordan (1838-1922)
Georg Ferdinand Frobenius (1849-1917)

Espaços vetoriais

Hermann Günther Grassmann (1809-1877)
Guiseppe Peano (1858-1932)
Hermann Klaus Hugo Weyl (1885-1955)

Análise Vetorial

Josiah Willard Gibbs (1839-1903)
Oliver Heaviside (1850-1925)

Álgebra Geométrica

David Hilbert (1862-1943)
Emmy Noether (1882-1935)
Emil Artin (1898-1962)

A Álgebra Linear

Bartel Leendert van der Waerden (1906-1996)