''There would be many things to say about this theory of matrices…" Arthur Cayley
Algumas questões importantes
O que é uma "Álgebra" e o que é a "Álgebra"?
Esta pergunta é pertinente. Antes de começarmos o estudo da Álgebra Linear, certamente gostaremos de ter uma idéia do que é uma "Álgebra", e o que é a "Álgebra" independentemente do fato de ela ser ou não "linear". O exemplo mais imediato que vocês têm é o da Álgebra de Números Reais e de Números Complexos. Nós aprendemos que estes números são elementos de conjuntos para os quais estão definidas as operações de soma e de multiplicação. Estas operações satisfazem algumas propriedades, por exemplo, o "fechamento", a "comutativa", a "associativa", a "existência do elemento inverso", a "existência do elemento neutro". Estas propriedades básicas são, por assim dizer, as regras do jogo. São elas que permitem operar com os números da forma que os torna úteis para representar operações com medidas (no caso dos números reais) e transformações geométricas no plano (no caso dos números complexos). Bem, uma "Álgebra", dito de forma algo simplificada, é justamente um conjunto, associado a uma operação ou operações entre seus elementos, tendo estas operações propriedades bem definidas. Na realidade, a parte mais essencial em uma álgebra são as operações e suas propriedades. O conjunto é menos importante, no sentido de que vários tipos de elementos podem satisfazer as mesmas regras algébricas. Nós iremos ter exemplos disso durante este curso. Assim, as regras algébricas consistem em uma espécie de estrutura que tem uma importância matemática independente dos casos concretos nos quais ela aparece. Como disciplina da Matemática, a "Álgebra" estuda precisamente, estas "estruturas algébricas".
Devemos compreender, contudo, que a Álgebra lida com elementos de conjuntos de forma implícita, sem especificar detalhadamente sua natureza. Assim, por vezes, completa-se o nome da disciplina chamando-a "Álgebra Abstrata", para enfatizar este caráter genérico ou inespecífico que os elementos do conjunto base assumem, bem como o preterimento de uma interpretação para as operações sobre os mesmos.
A Álgebra Linear
A Álgebra Linear considera e estuda uma estrutura chamada "espaço vetorial", cujos elementos são os "vetores", para os quais existem duas operações: a "adição" e a "multiplicação por escalar" (número real ou complexo). No melhor espírito da Álgebra, a Álgebra Linear estabelece propriedades que devem ser satisfeitas por estas operações, para que os elementos dos espaços vetoriais possam ser considerados "vetores".
Estes nomes, espaço vetorial e vetores, não foram dados por acaso. Os vetores que você estuda na Física (em Mecânica, Eletricidade, Magnetismo) podem ser somados e multiplicados por um número real. Estas operações satisfazem às propriedades que definem um espaço vetorial. Na verdade, foi a validade destas operações no terreno aplicado que levou a formulação do conceito abstrato de espaço vetorial.
Qual a importância do ponto de vista abstrato da Álgebra?
Economia de pensamento. Talvez vocês desconheçam, mas as soluções de equações diferenciais lineares, as funções contínuas em um intervalo e o campo magnético, entes tão diferentes, obedecem às propriedades que definem um espaço vetorial, quando as operações de adição e de multiplicação por escalar são escolhidas apropriadamente. Desta forma, por que deveríamos reformular os mesmos pensamentos em diferentes linguagens? Há muitas questões comuns, como a representação em bases, a solução de equações vetoriais, as transformações lineares, que podem ser formuladas e pensadas em uma linguagem única, a da Álgebra Linear. Se um problema é resolvido nesta linguagem única, podemos aplicar o resultado a qualquer espaço vetorial específico que estejamos considerando. Por exemplo: a informação sobre as propriedades físicas de uma partícula elementar está contida em uma função que é solução de uma equação diferencial linear. Para extrair ou expressar matematicamente esta informação sobre a posição, a energia, a quantidade de movimento e outras propriedades da partícula, fazemos certas transformações lineares sobre o vetor, que nesse caso é a função. Note-se quão distante estamos do mundo dos vetores representados por setinhas no papel. No entanto, a mesma linguagem pode ser utilizada. Aprendemos uma vez, pensamos uma vez, e estamos aptos para entender coisas muito variadas: esta é a importância do ponto de vista abstrato.
Qual a limitação do ponto de vista abstrato da Álgebra?
Ineficácia do pensamento. Um pensamento totalmente abstrato é amplamente inútil. Em certo ponto temos interesse em usar o nosso conhecimento para considerar situações específicas. Estas situações envolvem conhecimentos e treinos adicionais que nunca estão contidos na teoria abstrata. Vejam, seria ridículo formar um engenheiro eletricista ensinando-lhe apenas Álgebra Linear, só porque campos elétricos e magnéticos são vetores. Há muito mais a ser dito sobre estes campos que depende de sua realidade física, da forma como são produzidos, das circunstâncias em que ocasionam efeitos sobre entes que não são vetores… A teoria abstrata não substitui o conhecimento factual. Todavia, sem uma boa capacidade de raciocínio abstrato tornamo-nos lentos para aprender e para pensar.
Por que pagar o preço de estudar Álgebra Linear?
Pela competência e eficiência no estudo e na profissão.
A disciplina
A Álgebra Linear é uma disciplina bastante recente no conjunto da Matemática. Considera-se que foi apresentada pela primeira vez, da forma como atualmente a achamos, no tratado "Modern Algebra", de Bartel Leendert van der Waerden (1906-1996), um matemático holandês fortemente influenciado por Emmy Nöether (1882-1935), Richard Dedekind (1831-1916), Emil Artin (1898-1962) e David Hilbert (1862-1943). Assim, esta disciplina tem aproximadamente 80 anos de existência como tal, o que na história da cultura representa muito pouco tempo.
Não obstante esta recência, os temas e problemas que formam a Álgebra Linear de hoje irradiam-se de raízes profundas e permanentes no edifício da Matemática, projetando-se a partir do desenvolvimento de vários assuntos:
- Teoria dos Números;
- Geometria;
- Álgebra Abstrata;
- Análise Matemática;
- Física.
Admite-se que todos os resultados mais importantes da Álgebra Linear eram conhecidos por volta de 1880, mas faltava a articulação destes resultados, e dos conceitos diretamente relacionados, em uma mesma teoria. Hoje, a Álgebra Linear estrutura-se em torno do conceito de espaço vetorial, introduzido por Giuseppe Peano (1858-1932) em 1888 e que tinha sido esboçado de maneira bastante desenvolvida por Herrman Günther Grassmann (1809-1877), genial, freqüentemente injustiçado. O estudo dos espaços vetoriais e também das transformações que levam elementos de um espaço vetorial em outro, chamadas transformações lineares, forma hoje o núcleo essencial da disciplina, fornecendo uma linguagem para compreender alguns temas clássicos a partir dos quais a Álgebra Linear surgiu historicamente:
- equações lineares;
- matrizes;
- determinantes;
- formas bilineares;
- formas quadráticas.
Voltando mais profundamente às origens da Álgebra Linear, temos a Geometria Analítica de René Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1655). Esta disciplina, fazendo uso mais ou menos explícito de relações algébricas entre pares ordenados de números reais, continha, necessariamente, rudimentos do que viria a ser a Álgebra Linear. Ainda em conexão com isto, chama atenção o tratamento geométrico-analítico dado por Caspar Wessel (1745-1918), Jean-Robert Argand (1768-1822) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855) às quantidades complexas, ou números complexos. Deste modo, não é a toa que se possa encontrar vários textos apresentando a Geometria Analítica em termos de idéias unificadoras da Álgebra Linear. Relações algébricas que, naqueles estágios iniciais, tinham o caráter de curiosidades assumiram proporções de princípios que apareciam em vários contextos importantes, sempre que se tinha de tratar com um "complexos de quantidades" linearmente relacionados. Primeiramente, os esforços dos matemáticos foram no sentido de extender a noção de número para estas quantidades complexas. Assim foi paulatinamente formalizado o corpo dos números complexos que ainda se estuda com freqüência, mesmo no segundo grau. Todavia, o grande matemático William Rowan Hamilton (1805-1865), que introduziu formalmente os números complexos como pares ordenados com soma e produto definidos como hoje estudamos, introduziu também os quatérnions, que são quádruplas ordenadas que generalizam os números complexos. No mesmo espirito, Arthur Cayley (1821-1895) apresentou os octônions, formados por óctuplas ordenadas. Estas quantidades complexas forneceram um tratamento extremamente efetivo. Os quatérnions consistiram, por toda a segunda metade do século XIX, na linguagem padrão para se escrever as leis fundamentais do eletromagnetismo. A "parte imaginária" dos quatérnions é equivalente ao que chamamos "vetores", sendo o produto numérico entre quatérnions imaginários similar ao produto vetorial. Os vetores, tal como são matematicamente estudados hoje, estavam embutidos nesta álgebra de quatérnions.
Por que esta analogia com os números, que parecia tão proveitosa aos contemporâneos de Hamilton, não é hoje predominante? Porque não retinha sua simplicidade em situações mais gerais. Que situações gerais? As quantidades complexas com mais de quatro dimensões correspondiam a álgebras não-comutativas cada vez mais complicadas. Por outro lado, a fim de emularem em algum sentido os números, estas quantidades não podiam ser definidas em qualquer dimensão. Totalmente ao contrário disso, a estrutura espaço vetorial mostrou-se aplicável a problemas multidimensionais, sem restrição matemática à quantidade de dimensões e sem alteração dos axiomas que a definem.
Esta é a situação atual da Álgebra Linear: uma disciplina recente, empregada em diversos ramos da Matemática Pura, da Matemática Aplicada, da Ciência e da Tecnologia. Os conceitos centrais de espaço vetorial e transformações lineares, e a compreensão dos métodos unificados que deles decorrem, são absolutamente imprescindíveis para uma correta apreciação dos usos variados desta disciplina.
