Equações lineares, sistemas e matrizes

Equações lineares

Uma equação linear nas variáveis x_1,x_2,…,x_n é uma relação da forma:

(1)
a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b.

Por enquanto, nos restringiremos ao caso em que a_i\in\mathbb{R} e x_i\in\mathbb{R}, para 1\leq i \leq n.
Entende-se por solução de uma equação deste tipo valores x_1=c_1,x_2=c_2,…,x_n=c_n tais que a relação seja verdadeira (o lado esquerdo da equação é igual ao lado direito da equação). Quando isto acontece, diz-se que os valores satisfazem a equação.

Para n=1, temos a equação do primeiro grau a_1x_1=b. Quando a_1=0 e b=0, qualquer x_1\in \mathbb{R} satisfaz esta equação e teremos então infinitas soluções. No caso em que a_1\neq 0 a solução é única e igual a x_1=b/a_1, determinada algebricamente por somas e multiplicações entre reais. Por fim, quando a_1=0 e b\neq 0 não há nenhuma solução.

1 a_1=0 e b=0 Todo x_1\in \mathbb{R} é solução
2 a_1\neq 0 x_1\in \mathbb{R},\, x_1=b/a é solução única
3 a_1=0 e b \neq 0 Nenhum x_1,\in \mathbb{R} é solução

Podemos conceber a situação da seguinte forma. O conjunto \mathbb{R} nos dá o espaço de todas as possíveis soluções. No primeiro caso, todos os pontos de \mathbb{R} são soluções. No segundo caso, cada ponto de \mathbb{R} pode ser a solução única, dependendo da escolha de a\neq 0 e de b. No terceiro caso, nenhum ponto soluciona a equação.

soluções_axigb.jpg

Para n=2 temos a equação

(2)
a_1x_1+a_2x_2=b

Nesse caso, o conjunto de todas as possíveis soluções é formado pelos pares ordenados (x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2. Este conjunto constitui o plano cartesiano. Teremos, então:

1 a_1=0 e a_2=0 e b=0 Todo (x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2 é solução
2 a_1\neq 0 ou a_2\neq 0 Muitos (x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2, mas nem todos, são soluções
3 a_1=0, a_2=0, b \neq 0 Nenhum (x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2 é solução
reta_solução.jpg

De uma maneira geral, dada uma equação linear com n>1, teremos sempre uma situação similar a de n=2: todos os pontos de \mathbb{R}^n satisfazem à equação, nenhum ponto satisfaz à equação ou muitos pontos, mas não todos, satisfazem à equação.

Sistemas de equações lineares

Soluções de um sistema linear

Um sistema de equações lineares com m equações e n variáveis admite a seguinte representação:

(3)
\nonumber a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n &=& b_1 \ \nonumber a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n &=& b_2. \ \nonumber & & \ \nonumber a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n &=& b_n

Cada uma destas equações determina um conjunto solução que não é vazio ou tem como solução o conjunto vazio, conforme vimos antes. A solução do sistema é uma uma n-upla ordenada (x_1,x_2,\dots,x_n) que satisfaz todas as equações simultaneamente. Isto é equivalente a dizer que a solução do sistema se encontra na intersecção das soluções de cada uma das equações, vistas separadamente.

Uma conseqüência imediata do exposto, é que se alguma equação não tiver solução (o conjunto solução é vazio), então o sistema não tem solução.

sistemas_sem_solução.jpg

Operações elementares

A chave para entender por que o sistema 2 no quadro da seção anterior não tem solução é que este é equivalente ao sistema 1, o qual claramente não tem solução. Como podemos determinar que dois sistemas são equivalentes? Podemos fazer isso transformando cada um dos sistemas em um sistema comum, "mais simples", usando operações que não alterem o conjunto solução. Existem estas operações? Dois sistemas tendo o mesmo conjunto solução podem ser transformados um no outro por meio destas? Vamos passar agora a discutir estas duas questões.

Diremos que dois sistemas são equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução.

As seguintes operações não modificam o conjunto solução de um sistema:

  1. Multiplicar qualquer equação do sistema por um número real diferente de zero.
  2. Somar duas equações e substituir uma delas pelo resultado.
  3. Mudar a ordem das equações.

Prova da primeira parte:

prova1.jpg

Como a equação resultante do produto por um número real diferente de zero tem as mesmas soluções que a equação original, a intersecção do seu conjunto solução com os conjuntos solução das outras equações do sistema permanece a mesma, de modo que o conjunto solução do sistema não se altera e, então, por definição, o sistema resultante é equivalente ao original.

Prova da segunda parte:

prova2.jpg

Pelo mesmo motivo dado no caso da multiplicação por um número real diferente de zero, se substituirmos uma das equações que é parcela da soma pela soma, o sistema resultante será equivalente ao original.

Quanto à terceira parte, é evidente que a simples mudança da equação de lugar não altera seu conjunto solução. Desta forma, a intersecção desse conjunto com os das demais equações permanece a mesma e assim, a solução do sistema é a mesma.

Vemos então que as três operações elementares acima definidas não alteram a solução de um sistema. Portanto, são operações que transformam um sistema em outro equivalente. Agora a questão é: dados dois sistemas equivalentes, é sempre possível transformar um no outro usando estas operações?

O conceito de situação global

Normalmente, ao considerarmos um sistema de equações lineares, temos em mente encontrar seu conjunto solução, que consiste na intersecção das soluções das diferentes equações que compõem o sistema. Todavia, cada uma destas equações, isoladamente, determina um conjunto solução e, em vista disso, outro conjunto interessante, que não é solução do sistema, é aquele formado pela união dos conjuntos soluções das equações.

Chamaremos situação global descrita pelo sistema linear ao conjunto formado pela união dos conjuntos soluções das equações que o compõem.

Assim, para cada sistema linear temos:

  • uma situação global (união);
  • um conjunto solução (intersecção).

Logo a seguir estudaremos métodos para solucionar sistemas lineares. De acordo com o exposto, estes métodos consistem em procedimentos, ou algoritimos, para encontrar a intersecção dos conjuntos soluções das equações lineares compondo um dado sistema. Já sabemos que há três possibilidades:

  • A intersecção é igual ao conjunto universo.
  • A intersecção é um subconjunto próprio do conjunto universo.
  • A intersecção é o conjunto vazio.

O ponto importante é que sistemas descrevendo situações globais distintas podem ter o mesmo conjunto solução. Isto significa que não podemos determinar a situação global partindo da solução, a menos que já conheçamos a situação global previamente. Nesse sentido, o conjunto solução é um conjunto, em geral, mais simples que a situação global, pois normalmente contém menos informação. E o procedimento de solucionar um sistema equivale a procurar descartar sistematicamente o excesso de informação que possivelmente existe na situação global (que é uma união de diversos conjuntos), até revelar somente a necessária para descrever o conjunto solução (que é uma intersecção de diversos conjuntos).

situação_global_e_solução.jpg

Métodos de solução exata de sistamas lineares