Lista de Exercícios

Tópico: Conceitos básicos de seqüências e séries.

O objetivo desta lista é treinar o cálculo prático de limites de seqüências. O que será importante para nós no curso é a habilidade de determinar estes limites com segurança, bem como ser capaz de acompanhar os argumentos relacionados a aproximações de soluções de equações diferenciais em séries de potências e de Fourier.

Questão 1 (usando a calculadora)

Para cada desigualdade abaixo, encontre numericamente um número N que tornará a desigualdade verdadeira para todo n>N:

1) \left|\,(0,5)^{1/n}-1\right|< 10^{-3}
2) (0,9)^{n} < 10^{-3}
3) \left|\,(n)^{1/n}-1\,\right| <10^{-3}
4) 2^n/n! < 10^{-7}

Questão 2

Determine os limites quando n\rightarrow\infty das seqüências abaixo, dadas pelos seus termos gerais. Algumas seqüências podem ser divergentes, ou seja, o limite pode ser infinito ou não-existir.

1) a_n=\left(n+(-1)^n\right)/n
2) a_n=\left(2n+1\right)/\left(1-\sqrt{n}\right)
3) a_n=\left( n+3 \right) / \left( n^2+5n+6 \right)
4) a_n=\left( 1-n^3 \right) / \left( 70-4n^2 \right)
5) a_n=\left( -1 \right)^n \left( 1-1/n \right)
6) a_n=\left( 2-1/2^n \right) \left( 3+1/2^n \right)
7) a_n=\left( -1/2 \right)^n
8) a_n=\left( 1/0,9 \right)^n
9) a_n=n\pi\cos\left( n\pi \right)
10) a_n=\left( \mathrm{sen} ^2 n \right) / \left( 2^n \right)
11) a_n=\left( 3^n \right) / \left( n^3 \right)
12) a_n=\left( \ln n \right) / \left( \ln 2n \right)
13) a_n=\left( 0,03 \right)^{1/n}
14) a_n=\left( 1-1/n \right)^n
15) a_n=\left( n^2 \right)^{1/n}
16) a_n=\left( n+4 \right)^{1/(n+4)}
17) a_n=\left( \ln n \right) - \left( \ln (n+1) \right)

Questão 3

O primeiro termo de uma seqüência é x_1=1. Os termos seguintes são definidos pela fórmula de recorrência:

(1)
x_{n+1}=x_1+x_2+\cdots+x_n

Encontre um termo geral x_n que seja válido para n\ge 2.