Fractais no mundo real

O assunto

A Geometria Fractal surgiu em torno de 1975. O objetivo desta "nova geometria" era dar uma melhor descrição dos formatos irregulares e dos múltiplos níveis de detalhes que encontramos em vários objetos naturais. Aparentemente, observou Mandelbrot, a suavidade das formas da Geometria Euclidiana é uma exceção presente quase exclusivamente nas produções do ser humano. Se a Geometria Fractal pretende ser mais "realista" devemos poder achar inúmeros exemplos onde ela aparece. Nesta aula vamos apresentar tais exemplos. Vamos até construir um fractal e usá-lo para entender a propriedade mais distintiva destes objetos: a "dimensão fractal", um número em geral não inteiro, isto é, "fracionário", que funciona como uma "dimensão" para grandezas.

Temas de aula

Os temas da primeira aula são:

A complexidade dos objetos naturais.
- Complexidade como superposição de detalhes.
- Detalhamento e escalonamento.
O começo da Ciência: poucos detalhes e determinismo.
Objetos infinitamente detalhados.
- A curva de von Koch.
- Os conjuntos de Cantor.
- A escada do diabo.
Dimensões.
- Dimensão topológica.
- Dimensão de volume ou massa.
A dimensão de massa do papel amassado.
A noção de "Objeto Fractal".
Exemplos de fractais no mundo real.
Ciências e tecnologias que aplicam conceitos fractais.
Sumário das características dos fractais.

Alguns conceitos essenciais

Fractal
Dimensão
Dimensão fractal
Escala
Escalonamento
Leis de potência

Análise dimensional

Em toda equação usada para descrever fenômenos naturais, ambos os lados da igualdade devem ter as mesmas dimensões. O que isso quer dizer precisamente? Seja a equação:

(1)

$A=B.$

Se esta é uma equação usada na Física, por exemplo, então as grandezas $A$ e $B$ podem ser calculadas em termos de comprimentos, durações, massas, correntes elétricas, temperaturas, quantidades de substância ou intensidades luminosas. Sabemos disso, entre outros motivos, porque estas são as sete grandezas fundamentais relacionadas as unidades básicas do Sistema Internacional de Unidades. Para sermos definidos vamos considerar apenas comprimentos, durações e massas e representar estas grandezas fundamentais com os seguintes símbolos:

GRANDEZA	SÍMBOLO
Comprimento	L
Duração	T
Massa	M

Em uma situação suficientemente geral para nossos propósitos as grandezas $A$ e $B$ podem ser escritas da seguinte forma:

(2)

$A=\ K_A\ M^aL^bT^c,\ \ \ B=\ K_B\ M^dL^eT^f.$

Na equação (2), os expoentes $a,b,c,d,e$ e $f$ determinam as "dimensões" das grandezas $A$ e $B$ relativamente a cada grandeza fundamental. Por exemplo, se $a=2$ , dizemos que a grandeza $A$ "varia com a massa ao quadrado", ou "depende quadraticamente da massa". Os expoentes também podem ser negativos. Por exemplo, $b=-1$ indica que a grandeza $A$ varia com o inverso do comprimento. Por fim, o expoente pode ser fracionário. Por exemplo, $c=1/2$ indica um processo onde a grandeza $A$ cresce com a raiz quadrada da duração, ou tempo. Ainda na equação 2, $K_A$ e $K_B$ são constantes de proporcionalidade adimensionais, ou seja "números puros". Nestas condições, a equação $A=B$ só pode ser "correta" (ou seja, descrever um fenômeno natural), se os expoentes correspondentes são iguais:

(3)

$a=d,\ b=e,\ c=f.$

Escalonamento de áreas e volumes

No Sistema Internacional de Unidades as grandezas que não são fundamentais estão relacionadas a unidades chamadas de derivadas. Muitas destas grandezas são amplamente utilizadas e têm nomes tradicionais. Exemplos são a velocidade (dimensões $LT^{-1}$ ), aceleração (dimensões $LT^{-2}$ ) e a força (dimensões $MLT^{-2}$ ), tão nossas conhecidas das aulas de Mecânica no Ensino Médio. Observe o uso da palavra "dimensões" referindo-se à forma como uma grandeza depende das grandezas fundamentais. Apesar de comum este uso, as dimensões propriamente ditas são os expoentes. Também ganham nomes especiais as grandezas dependentes área (dimensão $L^2$ ) e volume (dimensão $L^3$ ).

Áreas e volumes¹ são utilizados no dia-a-dia muito mais do que as grandezas mecânicas. Nas práticas comerciais, por exemplo, sempre estamos às voltas com medidas de volumes para líquidos e de áreas para pisos. Neste mesmo nível se acham também as medidas de comprimento para tecidos, etc. As dimensões das grandezas derivadas área e volume são muito importantes nesse contexto, pois podemos prever o resultado de "mudarmos a escala", ou seja, "reescalonarmos" um projeto, uma compra ou uma meta baseados precisamente nestes expoentes. Uma área quadrada quadruplica se dobramos um lado. Dito de outro modo, um reescalonamento do lado para o dobro, implica uma área quatro vezes maior. Já um reescalonamento do lado para o dobro torna um volume cúbico oito vezes maior. Nestes exemplos o lado nos fornece uma "escala" seja do quadrado, seja do cubo. De fato, poderíamos ter considerado outro comprimento fixo destas formas geométricas como escala e obteríamos o mesmo resultado para o escalonamento do quadrado e do cubo.

O ponto importante é que podemos definir escalas para qualquer área ou para qualquer volume e não apenas para quadrados e cubos. Pois bem, dobrando a escala de uma área dada esta quadruplica, enquanto um volume dado octuplica na mesma situação. É isto que significam as expressões:

(4)

$\mathrm{\acute{A}rea}\ \alpha \ L^2,\ \ \mathrm{Volume}\ \alpha \ L^3.$

O símbolo $\alpha$ indica proporcionalidade.

Leis de potência

As expressões em 4 são ambas exemplos do que chamamos "lei de potência". Em uma lei de potência uma grandeza varia com outra elevada a certo expoente $d$ . Nos casos acima, $d=2$ e $d=3$ , respectivamente.

Fractais

Os fractais podem ser vistos como generalizações das áreas ou dos volumes. Da mesma maneira que estas formas geométricas, fractais são conjuntos de pontos em um espaço onde estão situados. Este espaço pode ser um plano, por exemplo. Similarmente às áreas e aos volumes, o escalonamento dos fractais é regido por leis de potência. Todavia, enquanto para áreas e volumes $d$ é um número natural, no caso dos fractais $d$ pode ser qualquer número real positivo. Como a parte fracionária deste número pode não ser nula, resolveu-se adotar o símbolo $d_f$ para este expoente e chamá-lo de "dimensão fractal".

Comparação entre as Geometrias Euclidiana e Fractal

EUCLIDIANA	FRACTAL
Milenar	Contemporânea
Objetos com tamanhos característicos	Objetos sem tamanhos característicos
Objetos com partes simples e regulares	Objetos com partes complexas e irregulares
Descritos por fórmulas	Descritos por algoritmos

Calculando a dimensão fractal pela fórmula

Nos slides 25 e 26 vimos que o cálculo da dimensão fractal $d_f$ é dado pela seguinte fórmula:

(5)

$d_f=\frac{\log N}{\log 1/r}.$

Nesta fórmula $N$ corresponde ao número de partes similares que podem ser encaixadas no objeto maior e $r$ corresponde à escala das partes. Por exemplo, no slide 26 temos o caso do "tapete de Sierpinski". O número de partes similares ao todo que podem ser encaixadas é $N=8$ e a escala da parte fica reduzida um terço, ou seja, $r=1/3$ considerando a escala do todo igual a 1. Portanto, usando a fórmula como indicado no slide obtemos a dimensão fractal

(6)

$d_f=\frac{\log 8}{\log 3}\approx 1,89.$

Dimensão fractal como um coeficiente angular

Vimos que os fractais são formados por partes que vão se encaixando compondo estruturas em escalas maiores. Tais estruturas maiores são similares a estas partes componentes. Seja $r_i$ uma escala tomada como base. Seja $r_{i+1}$ a escala imediatamente superior. Seja $N$ o número de partes na escala $r_i$ que compõem a figura maior na escala $r_{i+1}$ .

Do mesmo jeito que fizemos nos exemplos, vamos definir $1/r=r_{i+1}/r_i$ . Vamos ainda escrever $N=M_{i+1}/M_i$ onde M é a massa dos objetos medidas em uma dada unidade (no exemplo do slide 27 tomamos um triângulo pequeno como unidade de massa). Então,

(7)

$d_f=\frac{\log N}{\log 1/r}=\frac{\log M_{i+1}/M_i}{\log r_{i+1}/r_{i}}=\frac{\log M_{i+1}-M_i}{\log r_{i+1}-r_{i}}.$

Observe que este resultado é independente da escala $i$ tomada como base. Poderíamos ter escolhido qualquer escala para fazer o cálculo pois, nos fractais, o número de partes necessárias para formar a escala seguinte é o mesmo. Da mesma maneira, a variação proporcional de uma escala para a seguinte é a mesma. Vemos assim que a dimensão fractal é realmente um coeficiente angular de uma reta, pois todos os intervalos de uma escala para a outra são caracterizados pela mesma inclinação

(8)

$\alpha=\frac{\log M_{i+1}-M_i}{\log r_{i+1}-r_{i}}.$

É por isso que, para determinar a dimensão fractal no caso do slide 29, poderíamos simplesmente tomar o valor

(9)

$1,58=\frac{1,58 - 0}{1-0}.$

Papel amassado: resultado das nossas medidas

Medida	Escala $r$ (mm)	$\log_e(r)$	$\log_2(r)$	Massa $M$	$\log_e(M)$	$\log_2(M)$
1.	16.	2.7725887	4.	1.	0.	0.
2.	17.	2.8332133	4.0874628	1.	0.	0.
3.	16.	2.7725887	4.	1.	0.	0.
4.	18.	2.8903718	4.169925	1.	0.	0.
5.	18.	2.8903718	4.169925	1.	0.	0.
6.	16.	2.7725887	4.	1.	0.	0.
7.	22.	3.0910425	4.4594316	2.	0.6931472	1.
8.	19.	2.944439	4.2479275	2.	0.6931472	1.
9.	23.	3.1354942	4.523562	2.	0.6931472	1.
10.	27.	3.2958369	4.7548875	4.	1.3862944	2.
11.	30.	3.4011974	4.9068906	4.	1.3862944	2.
12.	29.	3.3672958	4.857981	4.	1.3862944	2.
13.	35.	3.5553481	5.129283	8.	2.0794415	3.
14.	39.	3.6635616	5.2854022	8.	2.0794415	3.
15.	39.	3.6635616	5.2854022	8.	2.0794415	3.