Dimensão e produto cartesiano
Hoje é comum ouvirmos falar coloquialmente a palavra "dimensão" com um sentido relacionado ao seu uso exato em Geometria Plana e Espacial. A ficção científica, veiculada em várias formas e gêneros, como nos livros, filmes e histórias em quadrinhos, ao lado da difusão de idéias contidas na obra do físico Albert Einstein e também algum preparo na escola, tudo isto contribui para tornar familiar a noção de dimensão. A palavra dimensão também costuma ser usada quando se faz alusão a categorias, ou modalidades ou aspectos. Por exemplo, quando se fala "as dimensões da linguagem", fazendo-se referência a diferentes papéis ou funções ou formas da linguagem. Mesmo sujeita a usos não-científicos, como no caso dos "universos paralelos" e "dimensões escondidas", prontos para fazer desaparecer ou aparecer criaturas, fantasmas, anjos, demônios e outros elementos associados às crenças em realidades sobrenaturais, pode-se conjecturar que, dentre as noções científicas, "dimensão" seja uma das que menos se distorce, ao ser transplantada dos uso técnico para o uso corrente (compare-se com a palavra "trabalho", em Física). A palavra "dimensão" evoca, a quase qualquer pessoa, algumas idéias básicas:
- Uma dimensão deve ser, em princípio, independente em relação às demais, no sentido de que a distinção entre as diversas dimensões é justificável e necessária para a compreensão.
- Uma extensão tem dimensão.
- Algumas extensões têm mais dimensões que outras.
Antes de se tornar objeto de literatura e um termo corrente em vários tipos de especulação mística, a noção de dimensão introduziu-se na cultura através da tentativa de Descartes para descrever, usando números, extensões mais complexas do que a linha reta. Depois disso, mesmo dentro da Matemática, o termo foi sendo empregado com base em analogias ou generalizações relacionadas a este ou aquele aspecto. Deste modo, tem sido usado em contextos bastante diversos da descrição da extensão, como no caso da "dimensão fractal".
Sem visar grande exatidão histórica neste momento, recordamos que, para fundar sua Geometria Analítica, Descartes introduziu o conceito que hoje nomeamos de produto cartesiano. Em seu uso original e simples, trata-se do conjunto de todos os pares ordenados 
com 
e 
. Nesse conjunto, há elementos com todos os valores de 
, independentemente de 
e, reciprocamente, há elementos com todos os valores de , independentemente de . Você pode interpretar o produto cartesiano como a "liberdade total". Neste produto cartesiano você encontrará todas as combinações possíveis de dois números reais, todas as duplas. O produto é dito "ordenado" justamente porque o par é diferente do par 
. Notações modernas para o produto cartesiano são: 
e 
.
O interesse de Descartes era levar adiante um imenso programa: usar, sistematicamente, métodos analíticos na Geometria. Para isto, Descartes fez uma observação muito feliz. Ele argumentou que havia uma correspondência 1-a-1 entre pontos do plano e pares ordenados que formam o produto cartesiano. Ele se baseou na idéia, na época admitida e hoje mais clara, de que existe uma correspondência 1-a-1 entre pontos de uma reta e números reais.
Para fazer esta correspondência entre pontos da reta e reais, basta escolher um certo ponto arbitrariamente como o marco inicial e associá-lo com o número zero. Fazendo desta maneira, cada ponto da reta fica a uma distância bem determinada deste marco inicial, distância esta dada por um número real que pode ser associado ao ponto. Para que a associação seja unívoca, ou seja, para que não haja dois pontos associados ao mesmo número, os pontos situados à esquerda do marco são colocados com sinal negativo precedendo a distância e os situados à direita mantém o sinal positivo.
Descartes raciocinou que se tomasse duas retas e as colocasse perpendicularmente em um plano, teria uma representação para cada ponto, projetando estes pontos ortogonalmente sobre as retas. Cada ponto estaria associado a duas distâncias, uma distância sobre a primeira reta e outra sobre a segunda reta, ou seja, a dois números reais ordenados: o produto cartesiano.
Bem, para associar um número real a um ponto da reta fazemos uma medida, para associar dois números reais a um ponto do plano fazemos duas medidas. A palavra dimensão vem do latim dimensio, palavra relacionada ao verbo em latim dimetiri que significa "tirar medidas" (dis + metiri). Foi com este sentido que se usou originalmente em Matemática. O plano tem duas dimensões porque para determinar seus pontos precisamos fazer duas medições independentes.
Por um raciocínio análogo faz-se corresponder os pontos do espaço a um trio ordenado de números 
. A dimensão do espaço é três, porque precisamos fazer três medidas para deteminar um ponto. O que dizer então de quatro dimensões? Hamilton, o primeiro a empregar na Física modelos em quatro dimensões (através dos quatérnions), descreveu isto como "um salto da imaginação". De um ponto de vista lógico não temos por que parar em quatro dimensões, ou seja, quatro medidas independentes para especificar um ponto. Podemos considerar, cinco, seis, dez ou mil. Nesse caso estaremos tratando com 
números reais ordenados, especificando um ponto em um espaço com dimensões. Este espaço costuma ser representado com a notação 
, para nos lembrar de sua relação com o produto cartesiano. Alguém mais prático, contudo, pode se questionar se esta alternativa, mesmo quando logicamente possível, seria útil para alguma coisa. Ao longo de seus estudos, você verificará que são extremamente comuns as situações nas quais se pode utilizar o produto cartesiano .
Observação. Sempre que você considera
. Note que os valores em cada posição da lista mudam ano a ano. Assim, poderíamos usar esta representação multidimensional para estudar a evolução da população do planeta, retendo informação sobre sua distribuição pelas unidades políticas, que são os países.
Quantidades complexas
Números complexos
Sempre penso na grande excitação que os matemáticos devem ter sentido ao se depararem com a possibilidade dos números complexos. Vivia-se o período no qual os "números imaginários" serviam para solucionar a cúbica geral (equação do terceiro grau) e a quártica geral (equação do quarto grau). A representação dos números imaginários, que são as raízes quadradas dos números negativos, era um problema difícil, porque estes apareciam apenas no contexto algébrico, como uma espécie de fatalidade, de preço a pagar, para se chegar no resultado correto ao resolverem-se as mencionadas equações. Os número reais eram associados a medidas, tanto que, como acabamos de ver, eram geometricamente representados por pontos de uma reta. E os números imaginários?
Uma idéia útil é pensar na 
como uma unidade, a "unidade imaginária", que teria o mesmo papel do número 1 dos números reais. Assim, haveria números imaginários maiores que a unidade imaginária, por exemplo, 
e menores que a unidade imaginária, por exemplo, 
, introduzindo-se, desta forma, uma "reta imaginária" análoga a reta real. Embora útil, esta idéia de representação, isolada, não supera a dificuldade maior: no contexto da resolução de equações, números reais e imaginários aparecem relacionados, uns determinando os outros, sugerindo que fazem parte de uma totalidade mais ampla do que ambos os conjuntos isoladamente. Se na resolução algébrica de equações a percepção desta totalidade era difícil, na representação por meio de duas retas separadas e independentes, uma real e a outra imaginária, não se avançava em nada nesta questão. Era justamente a representação geométrica desta totalidade, desta relação entre os reais e imaginários que se desejava. Observe o estudante que, uma vez descoberta a relação entre números reais e imaginários, uma vez sabendo-se que problemas formulados unicamente em termos de números reais conduziam a números imaginários, ficava-se sem a compreensão dos próprios números reais, enquanto os imaginários e sua relação com os reais não fossem elucidados.
Por isso posso imaginar as emoçõers de Caspar Wessel quando pensou que a totalidade que melhor representaria reais e imaginários em conjunto seria o produto cartesiano , o plano. As duas retas, a real e a imaginária, se cruzariam em um ponto comum, o zero, da mesma maneira que Descartes propusera. Porém, enquanto em Descartes cada ponto do plano representava apenas um par ordenado de medidas, agora representaria um número, um número complexo, um número sobre o qual se podia operar da mesma maneira que com os números reais, mas que precisava de duas magnitudes para ser especificado. Isso é, francamente, formidável.
Formidável, primeiro, porque através da inteligência de ninguém menos que Gauss, esta idéia foi polida e tornada extremamente fecunda, como o estudante aprenderá ao longo de seus muitos cursos e leituras mais adiante. Formidável, também, porque conjugava o produto cartesiano com uma estrutura algébrica que, nesse caso, coincidia com a estrutura algébrica dos números reais: a estrutura de "corpo" (field, no inglês).
