Caos: simplicidade matemática e comportamento complexo

O assunto

Uma idéia muito natural é que quanto mais simples um sistema, menos complicado é entendê-lo matematicamente. Dito de outra forma: sistemas simples, equações simples; sistemas complexos, equações complicadas. Bem, não é esse o caso. Muitas vezes a dificuldade matemática não está diretamente associada a um comportamento difícil de perceber no geral. Por exemplo: a matemática para descrever as propriedades locais da superfície de um balão de borracha inflando pode ser considerada um tanto sofisticada. Trata-se da Geometria Diferencial e, a fim de entendê-la bem, devemos despender um bom número de horas de estudo, começando por alguns semestres de Cálculo e pelo menos um semestre de Álgebra Linear. Todavia, este processo específico, cuja descrição detalhada envolve a Geometria Diferencial, não é um processo difícil de perceber como um todo. O balão infla, pontos marcados sobre sua superfície se afastam relativamente uns aos outros e, vista de bem perto, a superfície do balão se aproxima de um plano e, nesse caso, os efeitos da curvatura desta superfície tornam-se desprezíveis.

Existem, por outro lado, equações muito simples, puramente algébricas, que descrevem movimentos complicados, a começar pela básica equação do segundo grau. Vocês devem se recordar que mais simples do que uma equação do segundo grau, só uma de primeiro! Antes disso só o jardim de infância. No entanto, a equação do segundo grau esconde surpresas.

Vamos dedicar esta aula ao estudo de uma equação do segundo grau chamada "equação logística", usada para descrever sistemas que têm uma evolução complexa.

Temas da aula

  1. Seção de perguntas e respostas.
  2. A equação logística e suas propriedades básicas.
  3. Usando a equação logística para descrever a evolução de um sistema.
  4. Uma rota para o Caos.

A equação logística

Tudo começou com um cara chamado Thomas Robert Malthus, que criou uma polêmica teoria acerca do crescimento populacional. Malthus observava que "o poder da população é indefinidamente maior que o poder da Terra para prover a subsistência humana". Malthus acreditava que esta condição da existência havia sido imposta por Deus, a fim de forçar e ensinar o "comportamento virtuoso". Bem, o fato é que trata-se de uma situação dura, pois implica, e é verdade, que grande número de indivíduos deve perecer por falta de meios de subsistência. Malthus apresentava isto com um viés religioso, moralizador, mas muitos cientistas, entre eles Charles Darwin, observaram o potencial desta idéia para esclarecer o mecanismo da "origem das espécies". Malthus apresentava sua teoria para matematicamente demonstrar que uma vida relaxada e sem limites para todos os indivíduos era impossível. Seu modelo de crescimento conduzia inevitavelmente ao que se chamou de "catástrofe populacional". Que vem a ser isso? Como Malthus formulou matematicamente sua teoria? Vamos ver?

Em 1798 ele escreveu no seu "Ensaio sobre o princípio da população" algo como o seguinte: na ausência de condições adversas e restritivas, a população cresce e o crescimento populacional é diretamente proporcional ao número de de indivíduos compondo a população. Seja N_t o número de indivíduos em um dado instante t, por exemplo, 01/01/2009. Malthus disse que a variação \Delta N_t=N_{t+1}-N_t seria proporcional a [[N_t]]. Vamos aqui considerar t+1 como t mais um ano, ou seja, para t=01/01/2009, t+1=01/01/2010. De fato para simplificar a escrita, vamos deixar de lado o dia e o mês: t=2009 e t+1=2010. Colocando a idéia de Malthus numa fórmula:

(1)
\Delta N_t=AN_t \Rightarrow N_{t+1}=AN_t+N_t=(1+A)N_t.

Nesta equação A é uma constante de proporcionalidade maior do que zero. É claro que nestas condições a população cresce indefinidamente porque todo \Delta N_t é sempre positivo e sempre maior que o anterior. Por exemplo: N_{2010}>N_{2009} e assim \Delta N_{2010}>\Delta N_{2009}. Pegou? A população cresce e o incremento da população também cresce. Há uma "catástrofe" porque logo teremos indivíduos demais o que contraria a observação das populações na natureza.

Outra forma de ver isso é que, usando a última equação em (1)

(2)
N_{t+1}=(1+A)N_t \Rightarrow \frac{N_{t+1}}{N_t}=1+A.

Por este resultado os sucessivos valores da população variam com uma razão constante, formando uma progressão geométrica (olha ela aí de novo). Só que a razão da progressão é maior que 1, pois a constante A é positiva. Assim, quando t cresce indefinidamente, a população também cresce. Vamos definir outra constante B\equiv 1+A.

Na natureza, as populações não crescem indefinidamente entre outros motivos porque há limites na disponibilidade de alimentos. Há relações ecológicas. Assim, umas espécies servem de alimento para outras, ou se alimentam de outras. Há uma "pressão" do ambiente que limita a população. Foi aí que, em 1845, um outro estudioso, chamado Pierre François Verhulst, propôs a Equação Logística. Esta equação leva em conta o efeito da falta de alimentos:

(3)
N_{t+1}=BN_t(1-N_t).

Na forma que a apresento aqui, esta equação foi na realidade proposta pelo biólogo Robert May em 1976. Ao contrário da equação de Malthus, que só modela uma situação na qual acontece crescimento "catastrófico" da população, esta equação de Verhulst-May modela uma infinidade de situações, dependendo do parâmetro B. O que ela tem de diferente? Vamos considerar N_t como a fração entre o número de indivíduos na população e o número máximo possível de indivíduos. Assim, N_t agora é um número entre 0 e 1. Quando N_t=1 (ou seja, a população alcança o número máximo), o fator 1-N_t=1-1=0. Por incrivel que pareça esta propriedade origina comportamentos extremamente complexos para a variação da população com o passar do tempo. Isso porque quando N_t fica perto de 1 é como se tivéssemos N_{t+1} proporcional a N_t com uma razão bem pequena, menor que 1. Assim, nessa região, a "progressão geométrica" passa a ser convergente, em vez de divergente: se B > 1, para determinados valores de N_t a progressão pode se comportar como uma progressão geométrica com razão maior que 1 e para outros valores de N_t se comportar como uma progressão geométrica com razão menor que 1. Existe uma competição entre comportamento divergente e comportamento convergente. Para alguns valores do parâmetro B esta competição faz a progressão ficar "muito louca", sem saber para onde ir. Da simplicidade matemática, aparece o caos.

Na literatura técnica desta área, uma função dos naturais nos números reais como a descrita na equação é chamada mapeamento. Por este motivo, daqui em diante usarei o termo mais correto "mapeamento logístico" em vez de equação logística.

Programas para o mapeamento logístico

// Autor: Prof. Deilson Tavares
// Para o curso "Fractais e Caos na Ciência e na Tecnologia"
 
function x = logistica(T,x0,B)
// T é o número de iterações (tempos) nas quais o mapeamento será calculado.
 
  x = zeros(T,1);x(1)=x0; // Definições
  for t = 2:T
    x(t)=B*x(t-1)*(1-x(t-1)); // O mapeamento logístico é colocado aqui.
  end
endfunction

// Autor: Prof. Deilson Tavares
// Para o curso "Fractais e Caos na Ciência e na Tecnologia"
 
function x = may_feigenbaum(T,x0,N,d)
 
  x = zeros(T*N,2);
  B = linspace(0,4,N);
  for i = 1:N
    aux = logistica(T+d,x0,B(i));
    x((i-1)*T+1:i*T,2)= aux(d+1:d+T);
    x((i-1)*T+1:i*T,1)=B(i);
  end
  figure;plot(x(:,1),x(:,2),'.')
  h = get("current_entity");h=h.children;
  set(h,"mark_size",0);
  set(gca(),"data_bounds",[0 -0.1;4 1.1]);
endfunction